المواضيع ذات أهمية بالغة في بعض فروع الهندسة كالهندسة الكهربائية و الميكانيكية. (كالصواريخ و الطائرات و السفن و غيرها) يحافظ على إستقرار

بسم اللهجلال الحاج الرحمن عبدالرحيم يشرح المقال هذا بعض أهم المفاهيم و المواضيع النظرية للتحكم هذه المفاهيم و المواضيع ذات أهمية بالغة في بعض فروع الهندسة كالهندسة الكهربائية و الميكانيكية. تظهر أهمية مطالعة نظرية التحكم للا نظمة الميكانيكية عند (كالصواريخ و الطائرات و السفن و غيرها) يحافظ على إستقرار تغير الشرائط المؤثرة عليها في كل لحظة زمنية في هذا المقال. تصميم نظام تحكمي لوسائل هذه الوسائل نتيجة حاولت قدر الا مكان تبسيط مفاهيم التحكم و إعطاء أمثلة توضيحية بسيطة و حلها يدويا و من خلال محيط MTLAB الهدف منها تسريع إستذكارها لدارسيها و تفهيمها لمبتدئيها. أهم المواضيع التي سنتناول بحثها هي : بعض أهم إصطلاحات نظرية التحكم تحويلات لابلاس موضع جذور المعادلة طريقة روث في مطالعة إستقرار الا نظمة قاعدة ميسون في مطالعة إستقرار الا نظمة معيار نيكوست

بعض أهم إصطلاحات نظرية التحكم نظام التحكم (control ytem) عبارة عن أداة أو مجموعة من الا دوات للا دارة و القيادة و التحكم بسلوك الا جهزة و الا نظمة الا خرى المرتبطة مباشرتا بهذا النظام. أنواع التحكم : تحكم منطقي control) (logic تحكم قطع وصل control) (on-off تحكم نسبي control) (proportional تحكم خطي control) (linear المدخل (input) و المخرج (output) عبارة عن أوامر بصورة أعداد أو دوال أو قيم أو متغيرات تعطى في حالة (input) أو تأخذ في حالة (output) من نظام ما. input G() output التغذية الا سترجاعية (feedback) من خصائص الا نظمة المغلقة تسمح لمقايسة ما يخرج (output) من النظام الى ما يدخل (input) إليه. G() feedback الحلقة المفتوحة (open-loop) في الا نظمة التحكمية التي تحكم النظام فيها مستقل عن ما يخرج من النظام. مثلا الا نظمة الفاقدة للتغذية الا سترجاعية.

3 الحلقة المغلقة (cloed-loop) في الا نظمة التحكمية التي تحكم النظام فيها غير مستقل عن ما يخرج من النظام. تحكم النظام في هذا النوع من الا نظمة يرتبط بما يخرج من النظام يرتبط بال (output). مثلا الا نظمة ذات التغذية الا سترجاعية. أنظمة التحكم التناظري أو القياسي ytem) (analog control يتم التحكم فيها ببيانات مستمرة (continuou-data) هي الا نظمة التي أنظمة التحكم الرقمي ytem) (digital control هي الا نظمة التي يتم التحكم فيها ببيانات غير مستمرة أو منفصلة( dicrete-data ) الا ستقرار (tability) يرجع إستقرار أي نظام الى المداخل و الى الا ضطرابات التي تؤثر على ذلك النظام. النظام المستقر هو النظام الذي يبقى في حالة ثابتة أو عند إزالة المؤثرات الخارجية عنه يرجع لحالته الثابتة. أنظمة مستقرة أنظمةغير مستقرة

4 توجد عدة طرق و معاير في نظرية تحكم الا نظمة theory) (control ytem لمطالعة إستقرار الا نظمة منها : مكان جذور المعادلة معيار روث قاعدة ميسون معيار نيكوست تستخدم في نظرية التحكم عدة نماذج لا نمذجة المسائل التحكمية من هذه الا نمذجة الا نمذجة الرياضياتية و فيها يستعان بالمعادلات التفاضلية التي تحكم على النموذج و العمل عليها في فضاء لابلاس بعد التحويلات. المخططات الصندوقية diagram) (block و فيها يتم تحويل العناصر المؤثرة الى كيانات مرتبطة ببعضها من خلال مداخل (input) و مخارج (output) مخطط سريان الا شارات graph) (ignal flow للبحث في إستقرار و عدم إستقرار الا نظمة نقوم بالخطوات التالية : - تعين العوامل المؤثرة على النظام و تعين ما يدخل و ما يخرج إليه - كتابة المعادلات التفاضلية المؤثرة 3- كتابة المعادلات التفاضلية في فضاء لابلاس 4- تحويل جميع روابط فضاء لابلاس الى صناديق و ربطها بصورة منطقية في مخطط صندوقي مع مدخل و مخرج 5- إستنتاج دالة التحويل function) (tranfer و المعادلة المميزة equation) (characteritic من المخطط الصندوقي 6- الا ستعانة بأحد المعاير مثلا معيار نيكوست لتعين إستقرار النظام أو عدم إستقراره أو الشرائط اللازمة لا ستقراره.

5 تحويلات لابلاس تحويلات لابلاس من أسهل و أسرع الطرق لحل الكثير من المعادلات التفاضليه العادية الخطية ذات الشرائط البدائية. يستعان بهذه التحويلات لحل الكثير من المعادلات التفاضلية التي تنتج عن تحليل أنظمة التحكم.تعتمد هذه الطريقة على بعض المحاولات الرياضية البسيطة مع الا ستعانة ببعض الروابط التحويلية التي يمكن الحصول عليها من جداول خاصة بتحويلات لابلاس. 0 e t f ( t ) dt f ( t ) تعريف الصورة : : تحويلات لابلاس دالة عبارة عن و يكتب بهذه 0 t L t e tdt L f ( t ) e f ( t ) dt F ( ) 0 t مثال : ما هو تحويل لابلاس هذه الدالة f ( t ) t e 0 t () tdt t e tdt 0 L t () ( n ) n! من جداول التكاملات كذلك من دالة غاما إذن : إذن تحويل لابلاس هذه الدالة هو : نستنتج في الصفحة القادمة جدول لا هم تحويلات لابلاس

6 f ( t ) t n e at inat coat inhat cohat f ( ct ) ectf ( t ) e at inbt ( t ) n f ( t ) u ( t ) c ( t c) 0 t t c c n! n a F ( ) 0 a a a a a a F ( ) c c a F ( c) b ( a) b ( n F ) ( ) c e e ct

7 ( n تحويلات لابلاس إشتقاق رتبة n لداله ) t f ( نكتبها بهذه الصورة ) t f ) ( عبارة عن : n () 3 () ( n ) ( ) n (0) n (0) n (0) n n (0) F f f f f y y in t مثال : المطلوب حل المعادلة التفاضلية : Y y y y (0) ( ) (0) (0) الشرائط البدائية لهذه المعادلة هي y (0) 0 الحل : تحويلات لابلاس لطرفين هذه المعادلة هو : و 4 نضع الشرائط البدائية في هذه الرابطة و نبسطها تصبح النتيجه 6 Y ( ) ( 4)( ) نكتب هذا التساوي بهذا الشكل 5 3 3 Y ( ) 4 توجد طرق خاصة لتحويل و تبسيط الكسور. معكوس لابلاس لهذه الرابطة هو جواب المعادلة و يساوي : 5 3 3 y ( t ) int int

8 في بعض الا نظمة نستعين بتحويلات لابلاس بهذا الشكل : x L X ( ) L x X ( ) L x X ( ) تحويلات لابلاس L t L[ f ( ) d ] 0 F ( ) n n n d L[ t f ( t )] ( ) [ F ( )] n d t L[ f ( )] F ( ) lim f ( t ) lim F ( ) t 0 lim f ( t ) lim F ( ) t 0 d L f t F f f f f dt n n n n ( n ) ( n ) [ ( )] ( ) (0) (0) (0) (0) n f إشتقاق رتبة أولى و f إشتقاق رتبة ثانية و f إشتقاق رتبة ثالثة و هكذا n إشتقاق رتبة f ( n )

9 المخطط الصندوقي diagram block- A G AG A G AG AG G AG A A-B A G A G -A G + B - + - G A + - G B A G G G B G G تغذية إسترجاعية A A G A G G G G

0 مثال : المطلوب تبسيط المخطط الا سفل H R + + + - + - G G G 3 G H قيمة التغذية الا سترجاعية هنا واحد R GG G 3 G G H G G H G G G 3 3 G في هذه المخططات شبيهة للعلامة + -

من خلال هذا المثال البسيط سنلاحظ كيف يمكن كتابة المخطط الصندوقي لنظام من f ( t ) mx Bx kx نابض و مخمد. F m B k X ( ) ( ) ( ) من تحويلات لابلاس : x X ( ) x X ( ) x X ( ) X ( ) F ( x ) m B k ثم نكتب المخطط الصندوقي بهذا الشكل : F ( x ) X ( ) m B k و ننتخب هذه المقادير.5 = m k = 0.8, B =, نرسم هذا المخطط في محيط MATLAB لدالة المدخل ) pule نبضات). دالة المخرج دالة المدخل

Root Locu موضع جذور المعادلة أحد الطرق المتداولة في موضوع إستقرار الا نظمة هو البحث في مكان موضع جذور المميزة المعادلة في الصفحة العقدية (المحور الا فقي حقيقي و القائم خيالي) لذلك النظام. G() + - H() G ( ) G ( ) H ( ) المعادلة المميزة التي يجب البحث عن جذورها في هذا المخطط G ( ) H ( ) 0 المواضع التي يمكن أن تظهر فيها هذه الجذور و نوع إستقرار النظام هي : جذور المعادلة عددين سالبين و حقيقيين. النظام مستقر جذور المعادلة عددين خياليين. النظام متذبذب

3 جذور المعادلة أعداد عقدية العدد الحقيقي فيها موجب. النظام ذو ذبذبة متحللة. جذور المعادلة أعداد حقيقية سالبة ومتراكبة. جذور المعادلة أعداد حقيقية موجبة و متراكبة. النظام غير مستقر جذور المعادلة أعداد عقدية و الجزء الحقيقي موجب. النظام غير مستقر و ذو حركة تذبذبية غير منتهية و في نمو.

4 طريقة روث في إستقرار الا نظمة متى يصبح النظام مستقر و إذا كان غير مستقر كيف نجعله يصبح مستقرا إذا كانت جذور المعادلة المميزة لذلك النظام في الجهة اليسرى من إحداثيات الصفحة العقدية مركبة فذلك النظام مستقر. معادلة التحويل لهذا النظام : أو C ( ) b S b S b S b S b R ( ) a S a S a S a S a m m m 0 m n n n 0 n n m : في هذه المعادلة m n و المعامل a و b هي معامل ثابتة. لتعين إستقرار النظام من خلال طريقة روث (Routh) المعادلة المميزة لهذا النظام a S a S a S a S a S n n n 0 n n 0 نكتب معامل المعادلة بهذه الصورة : n a 0 a a 4 a 6 n S a a 3 a 5 a 7 n S b b b 3 b 4 n 3 S c c c 3 c 4 n 4 S d d d 3 d 4... S e e S f S 0 g

5 b b b c c c d d 3 3 a a a a a a b a b a b a c b c b a a a 0 3 a a a 4 0 5 a a a 6 0 7 a b b 3 a b b 5 3 a b b 7 4 b c c b c c 3 3 تحسب هذه المعامل هكذا : و هكذا حتى يصبح المعمل و هكذ و هكذا b مساوي صفر a S a S a S a S a n n n 0 n n عدد جذور المعادلة 0 التي فيها الجزء الحقيقي موجب يساوي تعداد تغير العلامات من الموجب الى السالب و بالعكس في العمود الا ول من جدول الصفحة السابقة (العمود الا صفر)

6 يعتبر النظام مستقرا إذا كانت مقادير العمود الا ول في الجدول السابق موجبة أي جذور المعادلة في الطرف الا يسر من الصفحة العقدية. مثال : نظام يخضع لهذه المعادلة المميزة من الدرجة الثالثة و التي جميع معاملها أكبر من الصفر (موجبة) عين إستقرار النظام من خلال معيار روث. a S a S a S a S 3 0 3 0 3 a 0 a S S S 0 a a a a 3 a a a 0 3 a 3 a a a a 0 3 شرط إستقرار النظام هو : حالة خاصة : إذا كانت أحد معامل السطر الا ول في الجدول مساوية للصفر و المعامل الا خرى مخالفة للصفر نستبدل الصفر بعدد موجب صغير جدا مثل ε بالبحث في إستقرار النظام. و نستمر مثال : المطلوب قيمة المتغير K ليصبح النظام مستقرا R () + - K ( )( ) C() C ( ) K R ( ) ( )( ) K دالة التحويل :

7 المميزة المعادلة : 4 3 K 3 3 0 4 S 3 K 3 S 3 0 S 7 3 S 9 K 7 K طريقة روث : S 0 K لكي يصبح النظام مستقرا يجب أن تكون K و جميع معامل العمود الا ول موجبة لذلك : K 4 9 K 0 K 4 9 إذا كانت نرسم دالة التحويل النظام متذبذب ببرنامج MATLABبإزاء K 4 3 3 3 K أكواد رسم دالة التحويل هذه ببرنامج MATLAB هي : >> num=[]; >> den=[ 3 3 ]; >> rlocu(num,den) كما تلاحظون موضع الجذور في الطرف الا يسر و النظام بإزاء هذا المقدار من =K مستقر.

8 قاعدة ميسون rule Maon' يعتمد تحليل الا نظمة و البحث في إستقرارها على المعادلات التي تتحكم (التفاضلية) بالنظام من ثم تحويلها الى مخطط صندوقي و تبسيطه و الحصول على المعادلة المميزة للبحث في إستقرار النظام من خلالها لكن تبسيط المخطط الصندوقي دائما لا يتم بسهولة و أحيانا المخطط الصندوقي م عقد و لا يمكن تبسيطه. تعتبر قاعدة ميسون من القواعد المهمة في تبسيط المخطط و الحصول على المعادلة المميزة للنظام بسرعة. إذا كانت الدالة الداخلة على قاعدة ميسون : R() و الدالة الخارجة C ( ) P Pk R ( ) k k C() في هذه الحالة معادلة النظام إستنادا k ثمرة المسير P k = (مجموع ثمرة جميع الحلقات) + (مجموع حاصل ضرب ثمرة كل حلقتين) (مجموع حاصل ضرب كل ثلاثة حلقات) +... La Lb Lc Ld LeLf a b, c d, e, f L مجموع ثمرة جميع الحلقات a a L L b c مجموع حاصل ضرب ثمرة كل حلقتين b, c ثمرة L L L مجموع حاصل ضرب كل ثلاثة حلقات d, e, f d e f المعمل المساعد (cofactor) لمحددة المسير k k

9 C ( ) R ( ) نشرح هذه القاعدة بهذا المثال : من خلال قاعدة ميسون المطلوب للمخطط الا سفل H R() - C () + + - + G G G 3 + H يصبح هذا المخطط بهذه الصورة في هذه الشبكة يوجد مسير واحد من ) R ( الى ) C ( ثمرو () هذا المسير هي : P L L L G G G 3 G G H G G H 3 G G G 3 3 في هذه الدارة ثلاثة حلقات مغلقة و منفردة ثمرة كل منها : L L 3 L

0 ( L L L ) G G H G G H G G G C ( ) R ( ) 3 3 3 P P محددة هذه الدارة : و لذلك الثمرة النهائية بين ما يدخل و يخرج من هذا النظام هو C ( ) G G G R ( ) G G H G G H G G G 3 3 3 : C ( ) R ( ) مثال : المطلوب دالة لنظام الدارة فيه كما في الشكل الا سفل عدد المسارات من ) R ( الى ) C ( ثلاثة و هي : P P P G G G G G 3 4 5 G G G G 6 4 5 G G G 3 7

L L L L G H 4 G G H 7 G G G H 3 6 4 5 G G G G H 4 3 4 5 أربعة حلقات مغلقة و منفردة في هذه الدارة و هي : ( L L L L ) L L 3 4 LL حلقاتهما غير متقاطعتان المحددة تساوي : L و LL نحصل : L و L و حذف كذلك : L 3 و LL نحصل على : L و حذف 3 L C ( ) P ( P P P3 3 ) R ( ) لذلك : C ( ) GG G 3G 4G 5 GG 6G 4G 5 GG G 7( G 4H ) R ( ) G H G G H G G G H G G G G H G H G G H 4 7 6 4 5 3 4 5 4 7

: معيار نيكوست criteria Niquit دالة التحويل لحلقة مغلقة كما في الشكل الا سفل هي R () C () + - G() H () G ( ) H ( ) 0 C ( ) G ( ) R ( ) G ( ) H ( ) لكي يصبح النظام مستقر يجب أن تكون جذور المعادلة في الجهة اليسرى من إحداثي الصفحة العقدية. توتر الحلقة المغلقة معيار نيكوست يربط جواب j) G ( j) H ( بعدد أصفار و أقطاب المعادلة المميزة الموجودة في الجهة اليمنى من الصفحة العقدية أو الصفحة.. G ( ) H ( ) من خلال هذا المعيار يمكن بسهولة تعين إستقرار الا نظمة المميزة بهذا الشكل : نكتب المعادلة F ( ) G ( ) H ( ) 0 F ( ) يوجد تناظر واحد الى واحد بين نقاط الصفحة و الصفحة عدى النقاط G ( ) H ( ) 6 ( )( ) المنفردة point) (ingular مثلا للتابع النقطة ) F ( لا ن :. 5.77 j في الصفحة تناظرها النقطة من الصفحة j F 6 ( j ). 5.77 ( j )(3 j ) j

3 يكمن مشاهدة التطابق بين الرسومات البيانية المرسومة في الصفحة و الصفحة ) F ( في هذه الا شكال :

4 البياني القطبي في البياني القطبي لتابع التحويل على قيمة j) G ( عند تغير من الصفر الى مالانهاية نحصل j) G ( حسب زاوية الطور (phae). و الزاوية الموجبة هي الزاوية التي : جهتها خلاف دوران عقارب الساعة و دورانها حول المحور الحقيقي كما في الشكل G ( ) يعرف البياني القطبي هذا ببياني نيكوست diagram).(nyquit مثال : المطلوب رسم البياني القطبي لدالة التحويل هذه : ( T ) T G ( j) G ( j) j j jt T T 0 ( ) ( ) lim G ( j) القيمة الزاوية T j 90 القيمة 0 الزاوية lim G ( j) 0 j 0 80

5 يمكن تلخيص معيار نيكوست هكذا : Z عدد أصفار Z N P G ( ) H ( ) في النصف الا يمن من الصفحة S عدد دورات الموضع في جهة عقارب الساعة حول j 0 N النقطة G ( ) H ( ) عدد أقطاب P في النصف الا يمن من الصفحة S في نظام مستقر إذا كانت المنحني P يجب 0 Z أو 0 N P j) ( G ( j) H ( يجب أن يدور أو يلتف P مرة حول النقطة جهة عكس دوران عقارب الساعة. أي موضع j 0 (مسير في إذا ) G ( ) H ( ليس لها أي قطب في النصف الا يمن من الصفحة S في هذه الحالة Z N j 0 لذلك لكي يصبح النظام مستقر يجب أن لا يلتف الموضع حول النقطة عند مطالعة الا نظمة عن طريق معيار نيكوست يمكن أن نواجه هذه الحالات : و ) G ( ) H ( ليس لها قطب في النصف الا يمن - الموضع لا يدور حول j 0 من الصفحة S النظام مستقر و إلا فالنظام غير مستقر. الموضع مرة أو عدة مرات يدور حول النقطة j 0 في جهة عكس دوران - عقارب الساعة في هذه الحالة إذا كان عدد دوران عكس عقارب الساعة يساوي عدد أقطاب مستقر. ) G ( ) H ( في النصف الا يمن من الصفحة S النظام مستقر و إلا فالنظام غير

و T 6 3- الموضع مرة أو عدة مرات يدور حول النقطة j 0 في جهة دوران عقارب الساعة في هذه الحالة النظام غير مستقر. مثال : في نظام حلقة مغلقة دالة التحويل لحلقة مفتوحة هو : G ( ) H ( ) K ( T )( T ) T و أبحث في إستقرار النظام إذا كانت K ثمرة النظام و T ثوابت زمنية كلها مقادير موجبة. : منحني j) G ( j) H ( كما في الشكل ) G ( ) H ( ليس لها قطب في النصف الا يمن من الصفحة S و مسير المنحني j) G ( j) H ( لا يدور حول النقطة لذلك النظام لهذه j 0 T ثوابت موجبة. المقادير مستقر K و مثال : : في نظام دالة التحول لحلقة مفتوحة G ( ) H ( ) K ( T )( T ) إبحث في إستقرار النظام لهذه الحالتين : - قيمة ثمرة النظام K صغيرة - قيمة ثمرة النظام K كبيرة

7 في الشكل الا سفل بياني نيكوست لهذه الحالتين : أقطاب عدد ) G ( ) H ( في النصف الا يمن من الصفحة S صفر لذلك لكي يصبح G ( ) H ( ) Z N النظام مستقر يجب 0 أي يجب أن لا يدور موضع حول لذلك : النقطة j 0 و النظام مستقر - لمقادير K صغيرة الموضع لا يدور حول النقطة j 0 و النظام غير مستقر - لمقادير K كبيرة الموضع يدور حول النقطة j 0

8 مثال : دالة التحويل لنظام حلقة مغلقة هو : G ( ) H ( ) K ( T ) هل النظام مستقر S أقطاب الدالة عدد ) G ( ) H ( في النصف الا يمن من الصفحة يساوي واحد G ( ) H ( ) P T القطب هو لذلك و المنحني النقطة حول يدور دورة واحدة في جهة دوران عقارب الساعة كما في الشكل الا سفل لذلك j 0 Z و بما أن Z N P أي و هذا يعني نظام حلقة مغلقة في الجهة N اليمنى من الصفحة S له قطبان و النظام غير مستقر. من هذا المثال أتضح لنا مفهوم القطب.

9. يمكن رسم بياني نيكوست من خلال برنامج MATLAB نرسم بياني نيكوست لدوال الا مثلة السابقة في محيط MATLAB لكن لمقادير عددية نقوم بإنتخابها. K G ( ) H ( ) G ( ) H ( ) ( T )( T ) ( )(3 ) G ( ) H ( ) 6S 5S >> num=[]; >> den=[6 5 ]; >> h=tf(num,den) Tranfer function: --------------- 6 ^ + 5 + >> nyquit(h) K G ( ) H ( ) G ( ) H ( ) ( T )( T ) ( )( ) G ( ) H ( ) 3 مقدار =K نسبتا كبير >> num=[]; >> den=[ 0]; >> h=tf(num,den) Tranfer function: --------------- ^3 + ^ + >> nyquit(h)

30 مقدار 0.=K نسبتا صغير >> num=[0.]; >> den=[ 0]; >> h=tf(num,den) Tranfer function: 0. --------------- ^3 + ^ + >> nyquit(h) K.5 G ( ) H ( ) G ( ) H ( ) ( T ) (3 ) G ( ) H ( ).5 3 >> num=[.5]; >> den=[3-0]; >> h=tf(num,den) Tranfer function:.5 --------- 3 ^ - >> nyquit(h)

3 : في محيط MATLAB تكتب دالة التحويل بهذا الشكل a a a a a a G ( ) H ( ) b b b b b b n n n 0 n n n n n n 0 n n n المصفوفات بهذا الشكل : a a b >> num=[ 0 >> den=[ b 0 >> h=tf(num,den) a... n b... n a an b bn a n ]; b ]; n Tranfer function: a a a a a a ---------------------------------------------------- n n n b b b b b b n n n 0 n n n 0 n n n >> nyquit(h)

3 مثال : يوضح هذا المثال بعض المفاهيم العملية لنظرية de التحكم. في هذا المحرك الا لي motor) (ervo الهيدروليكي تقاس x و y بالنسبة الى حالة e dy y التوازن. و و dx x E e a Y y a b E E E E ( x, y ) de dx dy X Y E E e x x X Y و e x y من تشابه المثلثات في الشكل : E e b X x a b في حالة a b إذن : القصد من هذه هو بالنسبة لحالة التوازن q c e تدفق سريان الزيت متناسب مع e إذن : q dy A dt

33 E ( ) ( X ( ) Y ( )) Q ( ) c E ( ) Q ( ) A S Y ( ) : لابلاس هذه المعادلات : المخطط الصندوقي لهذه المعادلات X ( ) C Y ( ) AS + - X ( ) C Y ( ) AS + - Y ( ) Y ( ) X ( ) A X ( ) C إذا كانت قيمة الدالة الداخلة لهذا النظام معينة يمكن تعين قيمة الدالة الخارجة منه. x f x ( t ) x f u ( t ) X ( ) x f x f نفرض : و

34 x f Y ( ) Y ( ) Y ( ) x f ( ) t Y ( ) x f ( ) لابلاس هذه المعادلة يساوي : y ( t ) x [ u ( t ) e u ( t )] f t y ( t ) x ( e ) u ( t ) f الدالة الداخلة لهذا النظام هي ) t u ( و من هذه الدالة المعينة و المعلومة في أي زمن مثل. يمكن تعين دالة خروجي النظام في ذلك الزمن t يمكن حل هذا المثال في محيط MATLAB لبعض الحالات العددية و لبعض المداخل الخاصة على سبيل المثال ننتخب = A و = 3 C لهذا المخطط الصندوقي : X ( ) C Y ( ) AS + - يمكن مشاهدة دالة المخرج في البياني المرسوم أسفل كل مخطط لا نواع المداخل

35 المدخل دالة سلمية المدخل قيمة ثابتة تساوي 3

36 المدخل دالة الجيب المصادر MODERN CONTROL ENGINEERING, FOURTH EDITION, KATSUHIKO OGATA کنترل کاتسو هيکو اگاتا ترجمه علی کافی نشر دانشگاهی المعادلات و الا نظمة اللا خطية. على الرابط : http://www.jalalalhajabed.com/nonlinear_ytem.pdf - 00-3

موقع www.jalalalhajabed.com jalal.alhajabed@hotmail.com jalal.alhajabed@yahoo.com البريد الا لكتروني :